Целевые ориентации

Достижение целостности математических знаний как главное условие развития и саморазвития интеллекта учащихся.

Создание более совершенной последовательности разделов и тем школьных предметов, обеспечивающей их единство и целостность.

Сверхзадача: вооружить девятилетнюю школу страны едиными учебниками математики (на базе рационального синтеза учебников алгебры, геометрии и черчения).

Концептуальные положения

Понятие «укрупнение единицы усвоения» достаточно общее, его можно представить как интеграцию конкретных подходов к обучению:

1) совместное и одновременное изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т.п. (в частности, взаимно обратных);

2) обеспечение единства процессов составления и решения задач (уравнений, неравенств и т.п.);

3) рассмотрение во взаимопереходах определенных и неопределенных заданий (в частности, деформированных упражнений);

4) обращение структуры упражнения, что создает условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий;

5) выявление сложной природы математического знания, достижение системности и целостности знаний;

6) принцип дополнительности в системе упражнений (понимание достигается в результате межкодовых переходов образного и логического в мышлении, сознательного и подсознательного компонентов).

При этом используются фундаментальные закономерности мышления, оптимизирующие познавательный процесс:

- закон единства и борьбы противоположностей;

- перемежающееся противопоставление контрастных раздражителей (И.П.Павлов);

- принцип обратных связей, системности и цикличности процессов (П.К.Анохин), обратимости операций (Ж.Пиаже);

- переход к сверхсимволам, т.е. оперирование более длинными последовательностями символов (кибернетический аспект).

Укрупненная дидактическая единица - УДЕ - это локальная система понятий, объединенных на основе их смысловых логических связей и образующих целостно усваиваемую единицу информации.

П.М.Эрдниев рассматривает целостные образы, формирующиеся в результате обучения, как постаналитические. Им предшествует стадия анализа, разложения первоначально целостных образов, выделения в воспринимаемом объекте его элементов и их взаимоотношений.

Обучение строится по следующей схеме:

1) Стадия усвоения недифференцированного целого в его первом приближении.

2) Выделение в целом элементов и их взаимоотношений.

3) Формирование на базе усвоенных элементов и их взаимоотношений более совершенного и точного целостного образа.

Особенности содержания

В ХХ веке в школьном расписании встречались пять составляющих (предметов) единой науки математики: арифметика, геометрия, алгебра, тригонометрия, черчение, причем по некоторым предметам печатались две книги (учебник и задачник). П.М.Эрдниев объединил в одном учебнике «Математика» все эти предметы, а также теорию и упражнения.

В едином учебнике осуществляется синтез планиметрии и стереометрии, при этом классические разделы геометрии получают новую, координатную характеристику.

Широко используются умозаключения по аналогии - важнейшему элементу творческого мышления. Упражнения приводятся по каждому логически завершенному параграфу (уроку, занятию).

Учащимся предлагается:

а) изучать одновременно взаимно обратные действия и операции: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корня, заключение в скобки и раскрытие скобок, логарифмирование и потенцирование и т.п.;

б) сравнивать противоположные понятия, рассматривая их одновременно: прямая и обратная теоремы; прямая и противоположная теоремы; прямая и обратная функции; периодические и непериодические функции; возрастающие и убывающие функции; неопределенные и «определенные» уравнения; непротиворечивые и противоречивые уравнения, неравенства; прямые и обратные задачи вообще;

в) сопоставлять родственные и аналогичные понятия: уравнения и неравенства, арифметические и геометрические прогрессии, одноименные законы и свойства действий первой и второй ступени; определения и свойства синуса и косинуса, свойства прямой и обратной пропорциональности и т.д.;

г) сопоставлять этапы работы над упражнением, способы решения, например: графическое и аналитическое решения системы уравнений; аналитический и синтетический способы доказательства теорем (решения задач); геометрическое и аналитическое (через координаты) определения вектора; доказательство «рассуждением» и с помощью граф-схемы и т.п.

Таким образом, главной особенностью содержания технологии П.М.Эрдниева является перестройка традиционной дидактической структуры материала внутри учебных предметов, а в ряде случаев - и внутри блока родственных учебных предметов.

Особенности методики

В качестве основного элемента методической структуры взято понятие «математическое упражнение» в самом широком значении этого слова как элементарная целостность двуединого процесса «учения - обучения».

Ключевой элемент технологии УДЕ - это упражнение-триада, элементы которой рассматриваются на одном занятии:

а) исходная задача;

б) ее обращение;

в) обобщение.

В работе над математическим упражнением (задачей) отчетливо выделяются четыре последовательных и взаимосвязанных этапа:

а) составление математического упражнения;

б) выполнение упражнения;

в) проверка ответа (контроль);

г) переход к родственному, но более сложному упражнению. Традиционное же обучение ограничивается большей частью вторым из указанных этапов.

Опыт обучения на основе укрупнения единиц усвоения показал, что основной формой упражнения должно стать многокомпонентное задание, образующееся из нескольких логически разнородных, но психологически объединенных в некую целостность частей, например:

а) решение обычной «готовой» задачи;

б) составление обратной задачи и ее решение;

в) составление аналогичной задачи по данной формуле (тождеству) или уравнению и решение ее;

г) составление задачи по элементам, общим с исходной задачей;

д) решение или составление задачи, обобщенной по каким-либо параметрам по отношению к исходной задаче.

Разумеется, вначале в укрупненное упражнение могут войти лишь некоторые из указанных вариаций.

Лейтмотивом урока, построенного по системе УДЕ, служит правило: не повторение, отложенное на следующие уроки, а преобразование выполненного задания, осуществляемое немедленно на этом уроке, через несколько секунд или минут после исходного, чтобы познавать объект в его развитии, противопоставить исходную форму знания видоизмененной.

Методы обучения реализуются путем выполнения упражнений и объективируются в знаниях. При этом важно не только количественное разнообразие методов и упражнений. Лишь набор определенных упражнений, сконструированных на основе принципа укрупнения, в четкой их последовательности обеспечивает прочность и сознательность усвоения знаний.

В технологии УДЕ используются одновременно все коды, несущие математическую информацию: слово, рисунок (чертеж), символ, число, модель, предмет, физический опыт.

Рекомендуемая литература

• Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах: (Из опыта работы). М.: Просвещение, 1977.
• Эрдниев П.М. Обучение математике в начальных классах: (Опыт обучения методом укрупнения дидактических единиц). М.: Педагогика, 1979.
• Эрдниев П.М. Обучение математике по УДЕ: Серия статей // Начальная школа. 1993, 1996.
• Эрдниев П.М. Укрупнение дидактических единиц как технология обучения. М., 1992.
• Эрдниев П.М. Укрупненные дидактические единицы на уроках математики в 1-2-м классах. М.: Просвещение, 1992.
• Эрдниев П.М. Экспериментальное учебное пособие для 1-го, 2-го класса. М.: Педагогика, 1977.
• Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Теория и методика обучения математике в начальной школе. М.: Педагогика, 1988.
• Эрдниев П.М., Эрдниев Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.